Mathématiques de base Exemples

$\frac{5 r}{r^{2} + 2 r - 35} - \frac{r}{r^{2} - 49}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $r^{2} + 2 r - 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 35$ et dont la somme est $2$ .

$- 5, 7$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{r^{2} - 49}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{r^{2} - 7^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r$ et $b = 7$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{r - 7}{r - 7}$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} \cdot \frac{r - 7}{r - 7} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{r - 5}{r - 5}$ .

$\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)} \cdot \frac{r - 7}{r - 7} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(r - 5) (r + 7) (r - 7)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{5 r}{(r - 5) (r + 7)}$ par $\frac{r - 7}{r - 7}$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r - 5) (r + 7) (r - 7)} - \frac{r}{(r + 7) (r - 7)} \cdot \frac{r - 5}{r - 5}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{r}{(r + 7) (r - 7)}$ par $\frac{r - 5}{r - 5}$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r - 5) (r + 7) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 7) (r - 5)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(r - 5) (r + 7) (r - 7)$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 7) (r - 5)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(r + 7) (r - 7) (r - 5)$ .

$\frac{5 r (r - 7)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)} - \frac{r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 r (r - 7) - r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $r$ à partir de $5 r (r - 7) - r (r - 5)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $r$ à partir de $5 r (r - 7)$ .

$\frac{r (5 (r - 7)) - r (r - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $r$ à partir de $- r (r - 5)$ .

$\frac{r (5 (r - 7)) + r (- (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $r$ à partir de $r (5 (r - 7)) + r (- (r - 5))$ .

$\frac{r (5 (r - 7) - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r (5 r + 5 \cdot - 7 - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.3

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$\frac{r (5 r - 35 - (r - 5))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r (5 r - 35 - r - - 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{r (5 r - 35 - r + 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.6

Soustrayez $r$ de $5 r$ .

$\frac{r (4 r - 35 + 5)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.7

Additionnez $- 35$ et $5$ .

$\frac{r (4 r - 30)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.8

Factorisez $2$ à partir de $4 r - 30$ .

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Étape 6.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4 r$ .

$\frac{r (2 (2 r) - 30)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$\frac{r (2 (2 r) + 2 (- 15))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 6.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 r) + 2 (- 15)$ .

$\frac{r (2 (2 r - 15))}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

$\frac{r \cdot 2 (2 r - 15)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$

Étape 7

Déplacez $2$ à gauche de $r$ .

$\frac{2 r (2 r - 15)}{(r + 7) (r - 5) (r - 7)}$